Majd gyűjteni szeretném a matekos könyveket

Jelenleg azért nem gyűjtöm a matekos könyveket, mert nincs saját lakásom, és nincs elég hely számukra itthon. Ezen kívül sajnos nincs elég időm sem arra, hogy mindazokat elolvassam, amelyek a birtokomban vannak. Viszont szeretnék egy saját házat vagy lakást, és majd ha ezt elérem, akkor gyűjteni szándékozom a matekos könyveket. De jelenleg is szívesen gyarapítom a gyűjteményemet, abban az esetben, ha ingyen vagy nagyon olcsón hozzá tudok jutni az ilyen könyvekhez. A birtokomban lévő matekos könyvek nagy részéhez nagyon olcsón jutottam. Lefotóztam, jelenleg miket birtoklok:

Ezen kívül még kaptam ajándékba egy "Róka Sándor - Válogatás Erdős Pál kedvenc feladataiból" című matekos könyvet is, de ezt inkább nem fotóztam le, mert a könyv elején az van kikötve, hogy "Engedély nélkül semmilyen formában nem másolható". Illetve, elfelejtettem még lefotózni, de birtokomban van még egy "Négyjegyű függvénytáblázatok, Matematikai, fizikai, kémiai összefüggések" című mű is (amit középiskolásoknak általában meg kell venniük).

A matek könyveken kívül még vannak a birtokomban ingyenesen (legálisan) kinyomtatott angol nyelvű matekos tankönyvek (e-könyvek) és jegyzetek is (a kép minősége nem elég jó, de illusztrációnak megteszi):

Sajnos ezeknek a feldolgozására sem jutott még elég időm és energiám. Ezen kívül még gyűjtöttem olyan ingyenes (főleg angol nyelvű) matematika tankönyveket (e-könyveket) és jegyzeteket is, amelyeket nem nyomtattam ki, hanem a számítógépen olvastam azokat. Ilyenekből rengeteg van letöltve CC-BY, CC-BY-SA, GNU-FDL, Gutenberg vagy közkincs (public domain) licenccel, illetve a "Free Google Books" felületéről letöltve is (ez utóbbinak nem ismerem a pontos licencfeltételeit, de remélem a közkincshez hasonló, mindenesetre a számítógépen ingyenesen olvasható). A számítógépen a következőket már el is olvastam:

(2025 előtt)

John Bossut - A General History of Mathematics from the earliest times, to the middle of the eighteenth century (translated from the French) (1803)

(2025-ben, nem feltétlenül időrendben)

I. Todhunter - A History of the Mathematical Theory of Probability from the time of Pascal to that of Laplace (1865) (ez utóbbi túl nehéz olvasmány a megértéshez)

W. W. Rouse Ball - A Short Account of the History of Mathematics (1908)

Stephen Davies, Ph.D. - A Cool Brisk Walk through Discrete Mathematics version 2.2.1 (2023)

Joe Fields - A Gentle Introduction to the Art of Mathematics version 3.2 (2023)

David Eugene Smith - History of Modern Mathematics (1906)

Francis H. Smith - Lecture on the History of Mathematics (1841)

Stephen Siklos - Advanced Problems in Mathematics: Preparing for University (2019) (ez utóbbi sajnos elég nehéz nekem, mert kalkulusból nem vagyok még annyira képzett)

Auguste Comte (translated by W. M. Gillespie) - The Philosophy of Mathematics (1851) (erre már nem is emlékszem)

... de nem csak a matematikáról olvastam e-könyveket a számítógépen...

(Folyamatban van a következők olvasása a számítógépen:)

Peter Barlow - An Elementary Investigation of the Theory of Numbers (1811)

G. B. Mathews, M.A. - Theory of Numbers, Part I (1892)

Kurt Hensel - Zahlentheorie (1913)

A következő évben még többet tervezek olvasni a matematika témájában, más témákhoz viszonyítva többet tervezek erre szánni. Ennyit erről a témáról, más személyes dolgokat inkább egy offline naplóba írok, de azért egy összefoglaló erről az évről és a jövő évre vonatkozó tervek várhatóak ezen a blogon ez év Szilveszterén vagy Újévkor.

A hiányzó láncszem Gödel bizonyításában

Leírom, miért gyanakodtam arra, hogy Gödel első nemteljességi tételének bizonyítása hibás lehet. Tehát, ennek bizonyítását Martin Hirzel fordításában néztem, amit belinkeltek a WikiPedia-ba egy archive.org-os linkkel. Ennek elején vázolják a bizonyítás tervét, és én mindjárt itt egy hiányzó láncszemmel szembesültem, ami akár hibássá is tehette volna a bizonyítást. Tehát, bevezették a "class-sign" fogalmát, ami olyan formulát jelent, aminek egy argumentuma van, egy természetes szám. Azután azt állították, hogy ezek a "class-sign"-ok sorba vannak rendezve, és az n-ediket úgy jelölhetjük, hogy R_n. Ezen kívül azt is állítják, hogy a "provable" függvényt lehetséges formulaként előállítani (ezt később bizonyítják). Ezek után veszik a következő halmazt:

K={n ∈ N | not provable(R_n(n))}

Majd azt állítják, hogy a K halmazhoz hozzárendelhető egy "class-sign", R_q aminek értéke akkor igaz, ha egy természetes szám eleme a K halmaznak... Itt jött egy olyan gondolatom, hogy ez nem feltétlenül igaz. A K halmaz ugyanis egy végtelen halmaz, és a K komplementere is végtelen. A K-hoz hasonló végtelen halmazok halmazának számossága pedig nem alef-null, hanem kontinuum. Így nem garantált, hogy egy K-hoz hasonló halmaznak egy véges formula feleltethető meg, hiszen a véges formulák halmazának számossága csak alef-null, nem kontinuum. Emiatt ástam tehát bele magam a témába. De később rájöttem, hogy ezt a K halmazt talán csak a szemléltetés végett hozták létre, a háttérben viszont az van, hogy a K helyett is formulákkal dolgozunk. Azt hiszem, az "Open Logic Text"-ben valami olyasmit írtak, hogy az n ismeretében először ki kell számítani R_n-t, majd ezt behelyettesíteni a formulába, így a végeredmény egy formula lesz, ami akkor igaz, ha a paramétere a K halmazba tartozik. Ezek után pedig folytatható a bizonyítás a belinkelt dokumentum alapján. Igen ám, de vajon n ismeretében valóban ki tudjuk számítani R_n-t? Ezen még elég sokat kellett gondolkodnom... végül is arra jutottam, hogy ha n olyan szám, ami egy "class-sign" Gödel-száma (a Gödel-számokról is olvashatunk a belinkelt bizonyításban), akkor vegyük ezt a "class-sign"-t, ha pedig n nem ilyen szám, akkor jelentse R_n azt, hogy "hamis" (vagy akár azt, hogy "igaz"). Úgy gondolom, hogy ez a művelet egy formulával kifejezhető, és azután ez a formula behelyettesíthető a "not provable" paraméterébe. Tehát, most úgy tűnik nekem, hogy Gödel első nemteljességi tétele valószínűleg igaz, hiszen nagyon sok matematikus foglalkozott már vele. De nincs kedvem ezt még tüzetesebben leellenőrizni, inkább a matematika más területeivel szeretnék foglalkozni, amikhez nem kell ennyi újfajta jelölést fejben tartani.

Gazdasági tanácsaim a szegényeknek (egy korábbi dokumentumom magyarítása)

2016-ban elég sokat írtam, illetve trollkodtam is, de sajnos "sok beszédnek sok az alja". Mégis találtam ezen régebbi írásaim között valamit, amit érdemes lehet itt leközölni. Ezt mindjárt meg is teszem, mivel havonta körülbelül egy blogbejegyzést terveztem ebbe a blogba írni, és nincs semmi más újdonság, amit most érdemes lenne leírnom (esetleg később). Angolról magyarra fordítom az írást, és kicsit át is dolgozom, néhány dolgot kihagyok. Itt következik:

Fekete Árpád gazdasági tanácsai a szegényeknek:

• a rajzolási és írási készségek eléggé függetlenek
• a humor és a zene segíthet gyorsan meggazdagodni
• egyébként a kézműves mesterségekben használjunk jó sablonokat
• szortírozzuk a régi cuccainkat az erőforrásaink közé vagy a szemétbe

1. A szegényeknek a munkát az élvezetekkel kellene kombinálnia

• a matematikát akkor is szeretni lehet, ha a világot nem (rekreáció)
  
• némely esetben az elmesportok és a verseny-játékok jó ötletnek tűnnek
• a politika, illetve a bűnözők legális megbüntetése a legrövidebb út is lehet
• figyeljük a pályázatokat és nyereményjátékokat, kommunikáljuk a jó ötleteket
• "kevesebbet költeni" nem mindig lehetséges, ha családunk van vagy a szomorúságunkat valamivel ellensúlyozni kell
• ahhoz hogy gyorsan meggazdagodjunk, általában szükséges híressé válni
• egyébként az etikus emberek még reménykedhetnek a természetfelettiben is
  

2. Vannak utak olyan sablonokkal, amelyeket követhetünk: 

• valószínűleg érdemes megnézni, mit csinálnak a kisgazdák és kézművesek
• kreatív hobbi kultúrák (origami, kosárfonás, kötés/horgolás) keveset fizetnek
• kristálynövesztés / szobanövények könnyűek is lehetnek a know-how után
• régi mesterségek is vannak, pl.: „Teophilus Presbyter - De diversis artibus”
• jó ötleteket lehet találni a környezetvédő mozgalomban is (pl. házi szappan)
  
• újabb kreatívok ingyenes (?), újrahasznosított alapanyagokat használhatnak
• listázzuk a (félkész) alapanyagokat és a jó mintákat / sablonokat
• néhány ember hallgat valamit (pl. podcastot), miközben ilyeneken dolgozik
• talán használhatunk műanyag ládákat gombák vagy palánták termesztésére
  

3. Az egyediség megérheti, mert az agyból ad hozzáadott értéket: 

• a művészetek, játékok és fejtörők akár jól is fizethetnek, kivéve gazdasági válság vagy túl magas kínálat esetén
• játékok/fejtörők ékszerként, és egyéb kincsek lejárt szabadalmak alapján
• eredeti groteszk, bizarr művészet az ezoterikus/okkult piacon
• megoldások korunk etikus innovációs kihívásaira (vagy új szabadalmak)
  
• egyedi műalkotás-eszközöket is lehet csinálni szuperhősök számára

4. Néhány lehetséges prodzsekt listája (a modern időkre is):

• papucsok, sálak, sapkák, kalapok, kesztyűk, fésűk, bőröndök, sípok
• kürtök, íjak, nyilak, halcsapda, egérfogó, kötelek
• ostorok, pecsétek, maszkok, legyezők, könyvkötészet, díszcsomók
• sör, gyertya, szappan, enyv, hamuzsír, színes üvegdarabok mozaiknak
• mozaikok PC programozással + újrahasznosított anyagokkal vagy gombokkal
• kabátok a 'Jack of Plates' páncélzat mintájára, akár újrahasznosítva is
• bumerángok és egyéb tárgyak célba dobáshoz
• hangszerek és egyéb akusztikus eszközök (pl. csörgők, szirénák)
• dokumentumok megsemmisítése a papír újrahasznosításával kombinálva
• malacpersely-szerű dokumentum-tárolók gipszöntéssel vagy máshogy
• akár energiát is lehet termelni szobabiciklivel vagy házi szélturbinákkal
• alkalmazzuk a környezetbarát 'Parabolic Solar Cooker' DIY terveket, tehát süssünk/főzzünk tükrözött napenergiával, parabola alakú tükör segítségével
• a PET palackokat és egyéb szemetet zsinegekre / szalagokra lehet felvágni
• hosszabb nyelet vagy plusz kiöntő vezetéket adhatunk edényekhez
• gyöngyből készült függöny, moszkító elleni háló / szigetelés ablakhoz / ajtóhoz
• fűteni lehet kemencével, cserépkályhával, üvegházzal és tükrökkel
• 'ice houses' / (jég)vermek hűtőszekrény helyett, árpa lehűtése főzés helyett
• sakkfigurák öntéssel, sakktáblák két különböző színű szalagból fonva
  
• intarzia, csontfaragás, címertan/logók, sárkányok, mandala idegeneknek
  
• víztisztítás, víz alatti eszközök, elektromosság megspórolása vagy tárolása

5. Újrahasznosított anyagok további innovációhoz (nézzünk körül):

• a műanyag joghurtos / margarinos dobozok fehér, kör alakú alja
• ételek csomagolásának belül egyszínű, lapos, síkbeli anyaga (műanyag)
  
• nagy műanyag mosószeres flakonból kivághatunk pl. lapátot, hótaposó csizmát
• gyufásdobozok, teásdobozok, cipősdobozok, kazetták, csukható edények
• szalagok, vezetékek, szívószálak, borotvapengék, parafadugók, tollak

Eddig tartott az említett dokumentum. Úgy tűnik, hogy ez a "csináld magad" dolgok és a kézművesség iránti érdeklődésem, amiről ez a blogbejegyzés szólt, csak egy fellángolás volt az életemben, mivel rájöttem, hogy ezzel nem igazán tudok pénzt keresni (leadózni sem lenne egyszerű, meg nem is fizet elég jól, nem is skálázható elég jól). Viszont amit az elején írtam, az még mindig érvényes: a rajzolás, írás, humor és zene közül valamelyik a siker felé vezető út lehet a szegények számára (nem is beszélve a matematikáról és a sakkról). Én például jelenleg az írásra koncentrálok, a matematika mellett.

Vissza a matematikához, programozás, e-könyvek, nyelvtanulás

Néha kellemetlen tud lenni az élet ebben a világban, de ha a matematikával foglalkozok, az feledteti ezeket. A matematika szép, a matematika tiszta, a matematika felett az Istennek sincs hatalma. Tehát úgy döntöttem, hogy a szabadidőm nagy részében visszatérek a matematikához. Például, talán korábban már leírtam, hogy híres sejtések bizonyításával próbálkozok, amiért pénzjutalmat remélek. Azonban ahogy a Beal-sejtésen gondolkodtam, kezdtem úgy érezni, hogy talán ugyanannyi esély van arra, hogy a Beal-sejtés hamis, mint arra, hogy igaz. Ha pedig a Beal-sejtés hamis, akkor nagyon nehéz lehet egy ellenpéldára rábizonyítani, hogy ellenpélda, hiszen rendkívül nagy számokról van szó. Tehát, úgy döntöttem, hogy inkább a kedvencemen, a Goldbach-sejtésen gondolkodom, mert úgy látom, hogy legalább 99% az esély arra, hogy ez igaz. Bár ezért nem jár közvetlen pénzjutalom (mint a Millenium Prize Problems sejtéseire), azért közvetett (utólagos) pénzjutalom még talán szerezhető vele. Mindenesetre a Goldbach-sejtés (és a Collatz-sejtés, valamint a Hadwiger-sejtés) közelebb áll hozzám, mint a Millenium Prize Problems, hiszen ezeken középiskolás matematikai tudással is elkezdhetek gondolkodni, akár egyedül kitaposva az utat a megoldáshoz.

Szóval néha ezt csinálom. Néha (kb. naponta 1x) meg sakkozok az Interneten. Az idő meg telik, és a matek meg a sakk területén nem nagyon érzem a haladást. Józan paraszti ésszel nem is tanácsos ezekbe ölni a szabadidőmet, hiszen nem sok olyan sikeres sakkozóról hallani, akinek 35 éves kora után erősödött meg az ÉLŐ-pontja (illetve aki még nem is indulhat ÉLŐ-pontos versenyeken), és nem sok olyan sikeres matematikusról hallani a 20. vagy 21. században, akinek nincs PhD-ja (vagy legalább MSc-je) matematikából. A "józan paraszti ész" ilyenkor azt mondaná: "A suszter maradjon a kaptafánál". Tehát, mint már említettem, az a tervem, hogy 2022 a programozás éve lesz a szabadidőmben. Itt van tehát két dolog: (1) 2022-től programoznom kell, de még nem tudom, mit programozzak (2) a matematika felé fordultam. Arra gondoltam, hogy összekapcsolom ezt a két dolgot ("összekötöm a kellemest a hasznossal"), és valamilyen matematikai szoftvert fogok fejleszteni. Még gondolkodok rajta, hogy pontosan milyen szoftverről legyen szó, de most afelé hajlok, hogy egy ahhoz hasonló programot írok majd, mint a GeoGebra. Miért lenne ennek létjogosultsága? Mert a GeoGebra licence nem engedi, hogy a szoftvert kereskedelmi célból használják fel. Véleményem szerint viszont szigorú értelemben szinte minden cél felfogható kereskedelmi célként is. Pl. úgy tudom, hogy nem szabad blogolni a GeoGebrával készült képeket megosztva. Ha tehát első körben írok egy olyan matematikai szoftvert, ami megkönnyíti azt, hogy valaki egy meghatározott méretű ábrát készítsen 2-dimenziós euklideszi geometriában, és ezt az ábrát akár kereskedelmi célokra is felhasználja, akkor azzal valószínűleg betölthetek egy "piaci rést". Ezután jöhetnének a további ötletek olyan feature-ökre, amelyek a GeoGebrában nincsenek benne (meg persze akár olyanokra is, amik benne vannak - a GeoGebrának van is már néhány konkurrense, pl. Desmos, CarMetal, sőt, a Mozaik Kiadónak is volt valamilyen fizetős szoftvere a geometriáról). Van még néhány dolog, amit máshogy csinálnék, mint ahogy a GeoGebra felépül. Ennyit a programozási terveimről.

Persze a közvetlen siker-terveimen kívül is elkezdtem újra a matematika felé fordulni. Ez pl. abban testesült meg, hogy a KÖMAL honlapjáról, a "Nyomtatott lap" / "Archívum" részről letöltöttem a cd.zip-et a KÖMAL 1893–1993 közötti számainak beszkennelt képeivel, és kiírtam azt egy CD-re (gondolom, "fair use"). Sosem tudni, mikor veszik el tőlünk az Internetet, de ez a CD akkor is értelmet adhat a számítógépezésnek, ha éppen nincsen Internet. Ezután úgy döntöttem, hogy angol nyelvű matematikai tankönyveket és előadás-jegyzeteket töltök le az Internetről, és írok azokból egy másik CD-t vagy DVD-t. Közben rájöttem, hogy talán erre nem is lenne jogom, hacsak a tankönyveket vagy előadás-jegyzeteket meg nem osztják valamilyen licenccel. Tehát, végül is arra jutottam, hogy csak a CC-BY, a CC-BY-SA, a GNU-FDL vagy a "Gutenberg Project" licenccel megosztott tankönyveket (valamint egy közkincs tankönyvet) készítettem elő CD-re vagy DVD-re írásra. Ez egy CD-hez sok lett, egy DVD-hez viszont kevés. Tehát, úgy döntöttem, hogy még más témákban (pl. Business, Computer Science) is spájzolok tankönyveket és egyéb műveket. Közben rá kellett jönnöm, hogy a számítástechnikában sokkal kevesebb oktató anyagot osztottak meg az általam itt említett barátságos licencekkel (pl. ami kereskedelmi célból nem használható fel, azt nem is töltöttem le). A könyvek honlapjainak megnyitása (pl. a e-booksdirectory.com honlapról indulva), a licencfeltételeik leellenőrzése a PDF-ekbe való betekintéssel elég sok időt elvett tőlem (a matek könyvekkel együtt legalább 2 napnyi szabadidőt), ezért egy idő után úgy döntöttem, hogy gyorsítok a folyamaton, és inkább csak olyan helyekről töltök le, ahol a legtöbb könyv licence jó: elsősorban a Gutenberg Project-re gondolok itt. A matematika tankönyvek letöltésére például a következők voltak a legjobb forrásaim (a "deep linking" kerülésével mutatom csak ezeket):

https://www.gutenberg.org/

https://www.openbookpublishers.com/

https://www.opentextbookstore.com/

https://yoshiwarabooks.org/

http://www.trillia.com/

Open Textbook Library (site: open.umn.edu)

American Institute of Mathematics Approved Textbooks (site: aimath.org)

A fenti helyekről nagyon sok ingyenes és valamilyen kedvező licenccel megosztott matematika tankönyvet le lehetett tölteni. Ezeken kívül tudom, hogy hol keressem a matematika előadás-jegyzeteket is, amelyeket szerzői jog véd, ezért csak 1 példányban tölthetem le azokat a merevlemezemre, tehát ezeket nem lehet spájzolni, csak szükség esetén használhatom azokat... Na mindegy, szóval ott tartottam, hogy a matematika témáján kívül más témákban kevesebben osztották meg a tananyagaikat "kereskedelmileg is felhasználható" licenccel, tehát úgy döntöttem, hogy a Gutenberg Project e-könyveivel töltöm fel a DVD-t, olyan non-fiction témájú könyvekkel, amelyek érdekelnek vagy érdekeltek. Kb. egy fél DVD-nyi (2 GB) anyagom volt már ezekből a matek tankönyvekkel együtt, és éppen egy boszorkányságról szóló e-könyv 2. kötetét (azt hiszem ez volt a címe: "The Witchcraft Delusion in New England: Its Rise, Progress, and Termination") kezdtem letölteni (a boszorkányságról rengeteg könyv van a Gutenberg Projectben, mind a Witchcraft Bookshelf-en és azon kívül is), amikor a laptop elkezdett furcsán kattogni és sípolni (talán hacker volt, talán hardware probléma, pl. laptop hűtő alatt lévő újságpapírok, talán a természetfeletti beavatkozása)... ezért gyorsan le kellett kapcsolnom azt, nehogy valami nagyobb baja legyen. Miután újra bekapcsoltam a laptopot, már nem volt vele gond, de azért a wifi kikapcsolása után gyorsan kiírtam egy fél DVD-re azokat, amiket addig gyűjtöttem, nehogy elromoljon a laptop, és odavesszen 2 napi munkám. Utána úgy döntöttem, már csak néhány e-könyv megy az újabb DVD-re, és a többi helyre ingyenes nyelvoktató anyagokat töltök le a következő helyről:

https://fsi-languages.yojik.eu/

A német és az orosz kurzusok egy része fért még az újabb DVD-re, amelyek a honlap tanúsága szerint közkincsek, mivel az USA-ban amit az USA kormánya készít, az közkincs. Így tehát van egy jó kis DVD-m, amin rengeteg olyan anyag van, amiből művelődhetek, akkor is, ha az Internet leáll vagy túl drága lesz (stb). Bekövetkezhet emiatt akár a "bőség zavara" is, azaz azt sem tudom, mit olvassak előbb... ugye német nyelvvizsgát is akarnék 2022-ben! Szóval lehet az is, hogy nem nagyon használom majd ezt a DVD-t, pedig érdekes dolgok lehetnek rajta.

Matematikai finitizmus és az önmagára való hivatkozás kizárása

A korábbi blogbejegyzésemmel kapcsolatban azon gondolkodtam, hogy megpróbáljak-e könyvet írni a matematikában (talán) előforduló tévedésekről... főleg két témában tudnám megtámadni a matematika 20. századi kultúráját: az egyik az önmagára való hivatkozás, a másik pedig a végtelen nagyságú matematikai objektumok, különösen a végtelen nagyságú képletek és a végtelen gráfok (a végtelen halmazokhoz már annyira hozzászoktam, hogy furcsább lenne elvetni azokat, mint használni). A következőre jutottam:

1. Az önmagára való hivatkozás valóban hibát jelent a matematikában. Ha megnézzük pl. a fraktálokat, beláthatjuk, hogy ezek leírhatók önmagára való hivatkozás nélkül is. A korábbi blogbejegyzésben említett "Diagonal lemma" vagy "Fixed Point Theorem" sem jelent igazából önmagára való hivatkozást, hiszen itt egy szám jelenthet képletet és paramétert is, és a képlet hivatkozik a paraméterre, nem a szám a számra, tehát szemantikus értelemben nincs szó önmagára való hivatkozásról, maximum a szintaktika tűnik úgy (ha jól emlékszem a korábbi gondolataimra). De nem is ezek a példák miatt vetném el az önmagára való hivatkozást, hanem azért, mert valóban "nincs értelmezve" a fejemben. Egy állítás olyan, mint valaminek a definíciója: ha létezik a definiált objektum, az olyan, mintha az állítás igaz lenne, ha nem létezik, az olyan, mintha az állítás hamis lenne. Azt pedig már ismerjük a matematikából, hogy a definíciók, lemmák és tételek (szerk.: és axiómák) szépen fel vannak építve egymásra, és nincs közöttük önmagára való hivatkozás, sem pedig később definiált dologra való hivatkozás. Ilyennek kell tekintenünk az állítások felépítését is. Sem a definíció, sem más állítás nem hivatkozhat önmagára, mert akkor nem lenne értelmezve. Ahogyan nem fogadjuk el a nullával való osztást (mert "nincs értelmezve"), nem szabad elfogadnunk az önmagára való hivatkozást sem. Még akkor sem, ha egyébként nem merül fel a használata során semmi szembetűnő hiba. Nézzünk erre egy-egy példát!

y=(3x)/(7x)

Az y változóban leírt törtet egyszerűsíthetnénk, így y=3/7 jönne ki eredményül (egyébként elképzelhető, hogy némelyik matematikai szoftver azonnal egyszerűsítene is). De mi van akkor, ha x=0? Ekkor valójában y=0/0, ez pedig nincs értelmezve! Úgy gondolom, ezzel a példával teljesen analóg a következő (szerintem közismert) példa: Egy papírra 5 állítás van írva, ezek a következők:

1. Ezen öt állítás közül pontosan egy hamis.
2. Ezen öt állítás közül pontosan kettő hamis.
3. Ezen öt állítás közül pontosan három hamis.
4. Ezen öt állítás közül pontosan négy hamis.
5. Ezen öt állítás közül pontosan öt hamis.

Az a kérdés, hogy melyik igaz, melyik hamis. Úgy emlékszem, a "hivatalos" megoldás szerint a negyedik állítás igaz (arról, hogy négy hamis), a többi pedig hamis. De ha jobban belegondolunk, itt is önmagára való hivatkozásról van szó! Mindegyik állítás hivatkozik önmagára és a többi négyre is. Tehát, valójában az kellene, hogy legyen a megoldás, hogy ezen öt állítás nincs értelmezve, tehát egyik sem igaz, és nem is hamis. Az önmagára való hivatkozásokon kívül persze ki kell zárnunk az egymásra való hivatkozást is, mint a következő példában:

1. A második állítás hamis.
2. Az első állítás hamis.
   

Ennek két "megoldása" lenne, vagy az első állítás igaz (és a második hamis), vagy pedig a második állítás igaz (és az első hamis). (Ha viszont a második állítás az lenne, hogy "Az első állítás igaz", akkor nem lenne "megoldás".) De mivel ezek egymásra hivatkoznak, nincsenek értelmezve! (Vagy talán egy külső, harmadik állítás döntené el, hogy valójában melyik állítás az igaz? Szerintem ennek nincs értelme.) Egyszerűen ki kellene mondani, hogy az állításokat úgy építhetjük fel, mint ahogyan a definíciók, lemmák és tételek (szerk.: és axiómák) egymásra épülnek a matematikában. Önmagára való hivatkozás és egymásra való hivatkozás kizárva. Nem tudom, hogy más matematikusok mennyire vannak hasonló véleményen, mint én, de afelé hajlok, hogy ha írnék is egy könyvet a témában, az nem sokkal lenne sikeresebb, mint ez a blogbejegyzés... ennyit tudtam írni a témáról dióhéjban. Még annyit, hogy úgy tűnik, hogy sok matematikai paradoxont fel lehetne oldani az önmagára való hivatkozás kizárásával. Pl. Russel paradoxona azt mondja, hogy:

1. Legyen S azon halmazok halmaza, amelyek nem elemei önmaguknak.
2. Ekkor, ha S nem eleme önmagának, akkor S a definíció szerint eleme önmagának.
3. Ha S eleme önmagának, akkor S a definíció szerint nem eleme önmagának.

Ezt a paradoxont úgy lehetne feloldani a fentebb leírtak alapján, hogy az "x nem eleme önmagának" önmagára való hivatkozást jelent, még akkor is, ha automatikusan igaznak látszik. Tehát, mint olyan, nincs értelmezve.

2. A végtelen nagyságú matematikai objektumok nem feltétlenül jelentenek hibát a matematikában. A korábbi blogbejegyzésemben azt gondoltam, hogy ha nincs olyan szám, hogy "végtelen" (tehát a végtelen csak határértéket vagy divergenciát jelenthet, de nem számot), ez azt jelenti, hogy nincs olyan képlet sem, amely végtelen nagyságú, mivel a képletek tagjainak száma (valamint a képletek kiértékelése is) egy szám kell, hogy legyen (legalábbis, ha nincs benne 0-val való osztás vagy hasonló). Azonban amikor a könyvíráson gondolkodtam erről a témáról, elbizonytalanodtam a kérdésben. Meglehet ugyanis, hogy "bevezetjük" a végtelen nagyságú képletek fogalmát (amelyeknek akár végtelen tagja is lehet), ettől kezdve tehát létezhetnek végtelen nagyságú képletek... ahhoz hasonlóan, ahogyan korábban bevezettük a negatív számokat vagy a komplex számokat. A végtelen nagyságú képletek kiértékelése esetén (pl. határérték-számítással) elképzelhető, hogy az eredmény nem egy szám lesz, hanem a végtelen... tehát a végtelen nagyságú képletek bevezetésével egyidejűleg még be kellene vezetni a végtelent jelentő számértékeket is, pl. a hyperreal nevű konstrukciókat... de ha pl. "omega" jelenti a végtelent, jó kérdés, hogy hogyan különböztetjük meg "omega"-t és "omega"+1-et? Melyiket írhatjuk le a végtelen sok tagú képlet kiértékelésének eredményeképpen? Ezen még lehet gondolkodni, de valószínűleg az "omega" nagyság elérése után "elhanyagolhatóak" a véges számok (omega=omega+1), ellentétben a WikiPedia-ban látott képpel.

A fentiek után a végtelen nagyságú matematikai objektumokban jelenleg nem látok nyilvánvaló hibát... másrészt a halmazelméletben nagyon gyakran dolgozunk végtelen nagyságú halmazokkal, és ezek eléggé intuitívak ahhoz, hogy inkább ezeket preferáljuk egy olyan matematikai kultúra helyett, amiben nem lennének elfogadottak a végtelen nagyságú matematikai objektumok. Ezt az alternatív matematikai kultúrát egyébként finitizmusnak hívják. Jó kérdés viszont, hogy lehetnek-e olyan matematikai paradoxonok, amelyeket a finitizmussal (és csak a finitizmussal) fel lehetne oldani (pl. találhatunk-e hibát a hyperreal vagy az ahhoz hasonló konstrukciókban). Vajon ilyen lehet például Hilbert Grand Hotel-paradoxonja? Eszerint egy végtelen sok szobát tartalmazó hotelben minden szoba foglalt. Mégis lehetne új vendégeket elszállásolni, ha minden vendéget a dupla akkora számú szobába költöztetnek. Azonban ezt meg lehet magyarázni azzal is, hogy az aleph-null számosságnak (ami a "végtelen sok" szoba számát jelentheti) ilyenek a tulajdonságai, hogy átköltöztetés esetén bijektív leképezés képzelhető el a halmaz és annak egy részhalmaza között. Ehhez tehát nem kell bevezetni a finitizmust.

(Blogbejegyzés szerkesztve 2021-08-08: Azonban jó kérdés, hogy mi lehet két "hyperreal" szám különbsége... pl. mennyi lehet "omega"-"omega"? Hogyan oldjuk meg a "hyperreal" számokat is tartalmazó egyenleteket? Ezen talán mégis elbukhatnak a végtelen nagyságú képletek is. Pl. vegyük a következő képletet:

((1+1)+(1+1/2)+(1+1/4)+(1+1/8)+(1+1/16)+...) - (1+1+1+1+1+...)

Egy módon kiértékelve ezt, azt kapjuk, hogy:

1+1/2+1/4+1/8+1/16+...=2

Más módon kiértékelve pedig azt kapjuk, hogy "omega"-"omega". Akkor vajon itt "omega"-"omega"=2? Nehezen hihető, különösen ha elhagyjuk a sorozatok első néhány tagját, vagy ha az (1+1+1+...) helyett ((1+1)+(1+1)+(1+1)+...)-t írunk. Az utóbbi esetben, "omega"-"omega"="-omega", tehát 2="-omega", ami ellentmondás. Ezen a kérdésen, és a matematikai finitizmuson tehát még lehet gondolkodni.

Eszembe jutott az is, hogy a végtelen nagyságú képletek kiértékelése talán divergenciához vezet, pl. a következő képlet esetén:

(-1)^1+(-1)^2+(-1)^3+(-1)^4+(-1)^5+...=(-1)+1-1+1-1+...

Ennek az eredménye tehát lehetne akár 0, akár (-1). Mivel a végtelen nagyságú képletek bevezetése ilyen divergenciát is szülhet, azokkal nem lehetne úgy számolni, mint a normális képletekkel. Ennél tehát egyszerűbb a matematikai finitizmus. Tehát, lehetőleg használjuk mindig a "lim" jelölést, amikor végtelen nagyságú képletekről lenne szó!)

Etika a matematikában: van-e benne hiba?

Újra átgondoltam egy matematikai logikai problémát, de sajnos eredménytelenül. Mi is ez a matematikai logikai probléma? Az, hogy a materiális implikációval kapcsolatban sokszor paradoxnak tűnő dolgokat tapasztalok. Például, először akkor találtam ilyen paradoxnak tűnő dolgot, amikor az egyetemen a matematikai logikáról tanultunk. Volt egy feladat, amiben két állítást kellett egyszerre igaznak elfogadni, és ezzel kapcsolatban volt egy kérdés... de én nem tudtam elfogadni a két állítást egyszerre igaznak! A két állításhoz hasonló felépítésűek a következők (mivel a konkrét állításokat talán nem közölhetném szó szerint):

1. Mária csak akkor dolgozik, ha Márta és Mariann is dolgozik.

2. Ha Márta nem dolgozik, akkor Mária dolgozik.

Az emberi logikám szerint ez a két állítás nem lehet egyszerre igaz. A matematikai logika (materiális) implikáció relációja szerint viszont mindkét mondat igaz lehet, ha Márta dolgozik (és Mária nem), hiszen "hamis állításból bármi következik". Ezek után többször is gondolkodtam a materiális implikáción. Így egy másik paradoxnak tűnő dolgot is találtam, ezt pedig a következő példával világíthatom meg:

1. Ádám látja, hogy nincs elektromos áram. Így azt a következtetést vonja le, hogy a következő állítás hamis: "Ha fel van kapcsolva a kapcsoló, világít a villany."

2. András látja, hogy a kapcsoló le van kapcsolva. Így azt a következtetést vonja le, hogy a következő állítás igaz: "Ha fel van kapcsolva a kapcsoló, világít a villany."

Melyiküknek lehet igaza? Amikor egy angol nyelvű matematikával foglalkozó blogom volt, már írtam erről egy blogbejegyzést, és abban levezettem, hogy a materiális implikáció igazságtáblázata miért nem lehet más (pl. 5 vagy 6 soros), mint amiről tanultunk (William Kneale és Martha Kneale a "The Development of Logic" című művükben megemlítik, hogy Diodórosz Kronosz és tanítványa, Philón, valamint követőik sokat vitatkoztak a materiális implikáció természetéről... szerintük Philón lehetett közelebb az igazsághoz, de mégis feltették azt, hogy egy tökéletesebb implikáció igazságtáblázatában az első állítás hamissága esetén az implikáció igazságértéke talán nem csak igaz lehet... tehát ezt a feltevést cáfolhattam meg). De ugyanezt gyorsabban is le lehet vezetni, ha megmutatjuk, hogy a "Ha A, akkor B" állítás ekvivalens azzal, hogy "(Nem A) vagy B". Ha viszont így van, akkor még mindig nem értem, mi okozza azt, hogy az emberi logikám néha mást mond, mint a matematikai logika és a materiális implikáció... pl. az utóbbi példában azt is mondhatnánk, hogy "Ha fel lenne kapcsolva a kapcsoló, világítana a villany." Ez Ádám szerint hamis, a matematikai logika szerint mégis Andrásnak van igaza, aki azt mondja, hogy igaz! Ezeken a dolgokon lehet, hogy gondolkodok még.

Ha már ezt a blogbejegyzést írom, meg szeretném említeni, hogy a matematikai publikációkat általában etikailag semlegesnek vagy inkább negatívnak tartom (hiszen hatalmat adhat azoknak, akik talán nem érdemlik meg azt, illetve a megoldatlan problémákon dolgozókat felszabadíthatja arra, hogy valami károsabbon dolgozzanak). A tudósoknak inkább a környezetvédelemmel vagy a szocializmussal kellene foglalkozniuk helyette. Szerkesztve: 2024-12-14: ezt már nem így gondolom... De egy dolgot mégis etikusnak találnék a matematikai publikációk terén: azt, ha valaki be tudná bizonyítani, hogy a matematika épületében valahol tévedés van! Vajon lehetséges ez? Jó kérdés. Mindenesetre én korábban több lehetséges területet találtam arra, ahol vizsgálódni lehetne:

• Amellett érvelek, hogy a végtelen az nem szám. Ha a végtelen szám lenne, akkor lenne egy tőle különböző szám, ami nála nagyobb, de nincs nagyobb szám a végtelennél. Tehát, nem használhatjuk a ∞ (végtelen) jelet számok helyett! Mi a helyzet a végtelen sorral? Ha a végtelen sor minden tagja véges, az összegük még mindig lehet végtelen. Mivel a számok összege szám kell legyen, de valamilyen végtelen sor összege nem szám, arra juthatunk, hogy a végtelen sor összege nem számok összege! Ez ugyanis egy végtelen sok tagú képlethez vezetne, de mint már láttuk, a végtelen nem szám. Tehát a végtelen sok tagú képlet nem képlet. A végtelen sor összegét tehát mindig csak a határérték-számítás értelmében használhatjuk. Előfordulhat, hogy a matematika épületének építésekor (pl. végtelen gráfok esetén) erről valakik megfeledkeztek... és ilyenkor sajnos olyan durva dolgok is előfordulhattak, mint az 1+2+3+4+...=-1/12 képlet. Véleményem szerint valószínűleg a "Hyperreal number" sem egy jó fogalom.
  
• Ezek miatt például az is hosszabb bizonyításra szorulhat, hogy valójában létezik-e a Koch görbe? Úgy gondolom, hogy létezik, de ez nem triviális.
• Hasonló okokból kételkedtem például Ramanujan által megoldott végtelen nagyságú gyökös képletekben is. Persze most már úgy gondolom, ezekben sem volt hiba, csak a jelöléssel vannak elvi problémáim. Másrészt elképzelhetőnek tartom, hogy más végtelen nagyságú gyökös képletekben nem egyértelmű, hogy hogyan képezzük azokat a véges képleteket, amelyek a végtelen nagyságú képletekhez konvergálnak, tehát akár kétféleképpen is képezhetők ezek, így talán divergens sorozatot kapunk, erre tehát vigyázni kell.
• Hasonlóképpen, bármilyen fogalmat, ami a végtelent tartalmazza (pl. végtelen gráfokat, végtelen halmazokat, végtelen képleteket) meg lehetne vizsgálni az előbb leírt elveim szerint, tehát aszerint, hogy a végtelen csak határértékként létezhet. Bár vannak végtelen halmazok, de mi van akkor, ha csak azok léteznek közülük igazán, amelyek véges információval leírhatóak vagy definiálhatóak? Így "a végtelen csak határértékként létezhet" állítás igaz marad, és a végtelen halmazok tulajdonképpen nem végtelen halmazok, csak véges képletek annak eldöntésére, hogy valami valamilyen tulajdonsággal rendelkezik-e. Ez talán egy újabb módja annak, hogy feloldjuk a Russel-paradoxont azoknak a halmazoknak a halmazáról, amelyek nem tagjuk önmaguknak. De a Russel-paradoxonban leírt halmaz azért is sántít, mert önmagára való hivatkozás (self-reference) van benne.
• Gödel első nemteljességi tétele és Löb tétele is kapcsolatosak egy állítás önmagára való hivatkozásával. Tehát, ezeket is érdemes lehet jobban megvizsgálni, mert úgy érzem, hogy az önmagukra hivatkozó állítások hibát jelentenek a matematikában. Gödel első nemteljességi tételének vizsgálatához használható ingyenes források a "Stanford Encyclopedia of Philosophy" (2 cikk), valamint a WikiPedia cikkben belinkelt "Martin Hirzel's (2000) simplifying translation of Gödel's original article, On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I". Amikor ezeket megvizsgáltam, arra jutottam, hogy a "Diagonal lemma"-val (más néven "Fixed Point Theorem") nem bizonyítják azt, hogy létezniük kell önmagukra vonatkozó állításoknak, csak annyit, hogy létezik olyan szám, ami olyan állítást jelent, amiben megtalálható ugyanaz a szám... de bármiféle szemantikus jelentés nélkül. Ha a "Képletként(X) ekvivalens ValamelyKéplet(Paraméterként(X))-el", az nem jelenti azt, hogy "Képletként(X)" szemantikus értelemben önmagára hivatkozó lenne, hiszen nem hivatkozik "Képletként(X)"-re, csak "Paraméterként(X)"-re, és ezek különböző dolgokat jelentenek szemantikus értelemben. Egyébként ha már Gödel első nemteljességi tételénél tartunk, azt is meg lehetne vizsgálni, hogy az annak bizonyításában leírt végtelen halmazok számossága alef-null vagy kontinuum, és ez okoz-e a bizonyításban valamilyen hibát (én úgy láttam, hogy nem, de ez nem triviális).
• Tehát, összefoglalva, elsősorban a végtelenek és/vagy az önmagára való hivatkozások esetén látom érdemesnek hibákat keresni a matematika épületében... De természetesen még ott is van hibalehetőség, ahol egy tételt csak a számítógép segítségével tudtak bebizonyítani (ezt tehát érdemes lehet megpróbálni "kézzel" is bizonyítani), illetve a számítógépes matematikai szoftverekben még sok hibalehetőség van (bár ez már nem tartozik szigorúan a matematika épületéhez).
  

Talán később még megvizsgálom az itt említett hibalehetőségeket a matematikában, ha lesz rá időm.

(Hozzáfűzés a blogbejegyzéshez 2021-07-27: Voltak más matematikusok is, akik hasonló véleményen voltak, mint én, a végtelen okozta hibákkal kapcsolatban: az ő filozófiai irányzatuk a finitizmus. 2021-08-06. Stop.)

Én voltam a "Fekete Árpád 2", jó matekos

Költözés miatt az általános iskola első osztályának második felét egy újabb intézményben folytattam. Az osztályfőnök megkérdezte a diákokat, hogy "Mit hozott nektek a húsvéti nyuszi?" ... "Egy új osztálytársat!" Majd elárulta nekik a nevemet (Fekete Árpád), és erre az osztály nevetésben tört ki, erre én meg elsírtam magam. Utána kiderült, hogy azért nevettek, mert már volt egy "Fekete Árpád" az osztályban, de rajtunk kívül még volt két másik diák is, akiknek pontosan ugyanaz volt a neve, mint a másiknak (nem tudom, elárulhatom-e ezt a blogomon). Bár én voltam az idősebb, mégis én lettem a "Fekete Árpád 2", mivel később érkeztem. Ezen a néven szerepeltem az osztálynaplóban az általános iskola 8 osztályában, valamint azt követően még a gimnázium 4 osztályában is, mivel én és "Fekete Árpád 1" ugyanabban a középiskolai osztályban folytattuk a tanulmányainkat. Sőt, még matematikaversenyeken is (ahol általában mindketten indultunk) "Fekete Árpád 2" néven szerepeltem, és úgy emlékszem, így kerültem be a Mozaik Kiadónak a Zrínyi Ilona Matematikaversenyről szóló valamelyik kiadványába is (ott a legjobb eredményem hetedik osztályban országos második hely volt). Egyébként a KÖMAL-ban már "Fekete 110 Árpád" néven voltam benne. Gondoltam, érdekességként megemlítem ezt ezen a blogon, amelynek a címe "feketearpad2.blogspot.com", hiszen a "feketearpad.blogspot.com" már foglalt volt, így magyarázatot adok arra, hogy miért is fogadtam el ezt a webcímet a blogomnak.

Amíg "Fekete Árpád 2"-nek hívtak, addig elég jó voltam matematikából, illetve (a testnevelés és az ének kivételével) más tantárgyakban elért eredményeim miatt is osztályelsőnek tekintettek. Az egyetemi éveim alatt (programtervező matematikus szakon) viszont már csak egy jó 4-es (fölötti) átlagot tudtam összehozni, ekkor a kereszténység került az érdeklődési köröm középpontjába (amiben ugye később csalódnom kellett). Persze azóta is voltak időszakok, amikor a matematikával is foglalkoztam (pl. blogot írtam), és ilyenkor néha el is értem eredményeket... de azóta sok idő eltelt, és mostanában például már jobban érdekel az olyan filozófia, ami abban segíthet, hogy hogyan élhetek boldogabb (egészségesebb, gazdagabb, függetlenebb, sebezhetetlenebb, kényszerektől mentesebb) életet. De ha már írom ezt a blogbejegyzést, gondoltam megosztom itt két kedvenc matematikai eredményemet...

• A XaoS nevű fraktálrajzoló (és zoom-oló) programba sikerült beraknom néhány érdekes, nem túl közismert fraktált, köztük egy olyat, ami hasonló a Sierpinski-háromszöghöz, csak az aranymetszés arányait használja (ebben az az érdekes, hogy a fraktál önmagához hasonló részei fedik egymást, de mégis jól definiált fraktált adnak ki):
  
  

• Találtam egy érdekes matematikai sejtést (állítást), leellenőriztem azt számítógéppel "kis" számokra, és később sikerült azt bizonyítanom is. Az állítás a következő: "Legyen S egy pozitív páros és egy páratlan négyzetszám összege, amelyek relatív prímek egymáshoz. S akkor és csak akkor prím, ha S másképpen nem írható fel két négyzetszám összegeként (másképpen, mint a definíciójában)." (Blogbejegyzés szerkesztve: 2020-12-01.) Idő és hely hiányában itt nem közlöm ennek a bizonyítását (angolul írtam), csak megemlítem, hogy felhasználtam hozzá a következő tételeket: Brahmagupta–Fibonacci identity, Fermat's theorem on sums of two squares, Sum of two squares theorem. Gondolom, a bizonyítás sokkal nehezebb lett volna, ha nem használhatom hozzá a linkelt tételeket, vagy ha nem szerzek tudomást róluk.