Etika a matematikában: van-e benne hiba?

Újra átgondoltam egy matematikai logikai problémát, de sajnos eredménytelenül. Mi is ez a matematikai logikai probléma? Az, hogy a materiális implikációval kapcsolatban sokszor paradoxnak tűnő dolgokat tapasztalok. Például, először akkor találtam ilyen paradoxnak tűnő dolgot, amikor az egyetemen a matematikai logikáról tanultunk. Volt egy feladat, amiben két állítást kellett egyszerre igaznak elfogadni, és ezzel kapcsolatban volt egy kérdés... de én nem tudtam elfogadni a két állítást egyszerre igaznak! A két állításhoz hasonló felépítésűek a következők (mivel a konkrét állításokat talán nem közölhetném szó szerint):

1. Mária csak akkor dolgozik, ha Márta és Mariann is dolgozik.

2. Ha Márta nem dolgozik, akkor Mária dolgozik.

Az emberi logikám szerint ez a két állítás nem lehet egyszerre igaz. A matematikai logika (materiális) implikáció relációja szerint viszont mindkét mondat igaz lehet, ha Márta dolgozik (és Mária nem), hiszen "hamis állításból bármi következik". Ezek után többször is gondolkodtam a materiális implikáción. Így egy másik paradoxnak tűnő dolgot is találtam, ezt pedig a következő példával világíthatom meg:

1. Ádám látja, hogy nincs elektromos áram. Így azt a következtetést vonja le, hogy a következő állítás hamis: "Ha fel van kapcsolva a kapcsoló, világít a villany."

2. András látja, hogy a kapcsoló le van kapcsolva. Így azt a következtetést vonja le, hogy a következő állítás igaz: "Ha fel van kapcsolva a kapcsoló, világít a villany."

Melyiküknek lehet igaza? Amikor egy angol nyelvű matematikával foglalkozó blogom volt, már írtam erről egy blogbejegyzést, és abban levezettem, hogy a materiális implikáció igazságtáblázata miért nem lehet más (pl. 5 vagy 6 soros), mint amiről tanultunk (William Kneale és Martha Kneale a "The Development of Logic" című művükben megemlítik, hogy Diodórosz Kronosz és tanítványa, Philón, valamint követőik sokat vitatkoztak a materiális implikáció természetéről... szerintük Philón lehetett közelebb az igazsághoz, de mégis feltették azt, hogy egy tökéletesebb implikáció igazságtáblázatában az első állítás hamissága esetén az implikáció igazságértéke talán nem csak igaz lehet... tehát ezt a feltevést cáfolhattam meg). De ugyanezt gyorsabban is le lehet vezetni, ha megmutatjuk, hogy a "Ha A, akkor B" állítás ekvivalens azzal, hogy "(Nem A) vagy B". Ha viszont így van, akkor még mindig nem értem, mi okozza azt, hogy az emberi logikám néha mást mond, mint a matematikai logika és a materiális implikáció... pl. az utóbbi példában azt is mondhatnánk, hogy "Ha fel lenne kapcsolva a kapcsoló, világítana a villany." Ez Ádám szerint hamis, a matematikai logika szerint mégis Andrásnak van igaza, aki azt mondja, hogy igaz! Ezeken a dolgokon lehet, hogy gondolkodok még.

Ha már ezt a blogbejegyzést írom, meg szeretném említeni, hogy a matematikai publikációkat általában etikailag semlegesnek vagy inkább negatívnak tartom (hiszen hatalmat adhat azoknak, akik talán nem érdemlik meg azt, illetve a megoldatlan problémákon dolgozókat felszabadíthatja arra, hogy valami károsabbon dolgozzanak). A tudósoknak inkább a környezetvédelemmel vagy a szocializmussal kellene foglalkozniuk helyette. De egy dolgot mégis etikusnak találnék a matematikai publikációk terén: azt, ha valaki be tudná bizonyítani, hogy a matematika épületében valahol tévedés van! Vajon lehetséges ez? Jó kérdés. Mindenesetre én korábban több lehetséges területet találtam arra, ahol vizsgálódni lehetne:

• Amellett érvelek, hogy a végtelen az nem szám. Ha a végtelen szám lenne, akkor lenne egy tőle különböző szám, ami nála nagyobb, de nincs nagyobb szám a végtelennél. Tehát, nem használhatjuk a ∞ (végtelen) jelet számok helyett! Mi a helyzet a végtelen sorral? Ha a végtelen sor minden tagja véges, az összegük még mindig lehet végtelen. Mivel a számok összege szám kell legyen, de valamilyen végtelen sor összege nem szám, arra juthatunk, hogy a végtelen sor összege nem számok összege! Ez ugyanis egy végtelen sok tagú képlethez vezetne, de mint már láttuk, a végtelen nem szám. Tehát a végtelen sok tagú képlet nem képlet. A végtelen sor összegét tehát mindig csak a határérték-számítás értelmében használhatjuk. Előfordulhat, hogy a matematika épületének építésekor (pl. végtelen gráfok esetén) erről valakik megfeledkeztek... és ilyenkor sajnos olyan durva dolgok is előfordulhattak, mint az 1+2+3+4+...=-1/12 képlet. Véleményem szerint valószínűleg a "Hyperreal number" sem egy jó fogalom.
  
• Ezek miatt például az is hosszabb bizonyításra szorulhat, hogy valójában létezik-e a Koch görbe? Úgy gondolom, hogy létezik, de ez nem triviális.
• Hasonló okokból kételkedtem például Ramanujan által megoldott végtelen nagyságú gyökös képletekben is. Persze most már úgy gondolom, ezekben sem volt hiba, csak a jelöléssel vannak elvi problémáim. Másrészt elképzelhetőnek tartom, hogy más végtelen nagyságú gyökös képletekben nem egyértelmű, hogy hogyan képezzük azokat a véges képleteket, amelyek a végtelen nagyságú képletekhez konvergálnak, tehát akár kétféleképpen is képezhetők ezek, így talán divergens sorozatot kapunk, erre tehát vigyázni kell.
• Hasonlóképpen, bármilyen fogalmat, ami a végtelent tartalmazza (pl. végtelen gráfokat, végtelen halmazokat, végtelen képleteket) meg lehetne vizsgálni az előbb leírt elveim szerint, tehát aszerint, hogy a végtelen csak határértékként létezhet. Bár vannak végtelen halmazok, de mi van akkor, ha csak azok léteznek közülük igazán, amelyek véges információval leírhatóak vagy definiálhatóak? Így "a végtelen csak határértékként létezhet" állítás igaz marad, és a végtelen halmazok tulajdonképpen nem végtelen halmazok, csak véges képletek annak eldöntésére, hogy valami valamilyen tulajdonsággal rendelkezik-e. Ez talán egy újabb módja annak, hogy feloldjuk a Russel-paradoxont azoknak a halmazoknak a halmazáról, amelyek nem tagjuk önmaguknak. De a Russel-paradoxonban leírt halmaz azért is sántít, mert önmagára való hivatkozás (self-reference) van benne.
• Gödel első nemteljességi tétele és Löb tétele is kapcsolatosak egy állítás önmagára való hivatkozásával. Tehát, ezeket is érdemes lehet jobban megvizsgálni, mert úgy érzem, hogy az önmagukra hivatkozó állítások hibát jelentenek a matematikában. Gödel első nemteljességi tételének vizsgálatához használható ingyenes források a "Stanford Encyclopedia of Philosophy" (2 cikk), valamint a WikiPedia cikkben belinkelt "Martin Hirzel's (2000) simplifying translation of Gödel's original article, On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I". Amikor ezeket megvizsgáltam, arra jutottam, hogy a "Diagonal lemma"-val (más néven "Fixed Point Theorem") nem bizonyítják azt, hogy létezniük kell önmagukra vonatkozó állításoknak, csak annyit, hogy létezik olyan szám, ami olyan állítást jelent, amiben megtalálható ugyanaz a szám... de bármiféle szemantikus jelentés nélkül. Ha a "Képletként(X) ekvivalens ValamelyKéplet(Paraméterként(X))-el", az nem jelenti azt, hogy "Képletként(X)" szemantikus értelemben önmagára hivatkozó lenne, hiszen nem hivatkozik "Képletként(X)"-re, csak "Paraméterként(X)"-re, és ezek különböző dolgokat jelentenek szemantikus értelemben. Egyébként ha már Gödel első nemteljességi tételénél tartunk, azt is meg lehetne vizsgálni, hogy az annak bizonyításában leírt végtelen halmazok számossága alef-null vagy kontinuum, és ez okoz-e a bizonyításban valamilyen hibát (én úgy láttam, hogy nem, de ez nem triviális).
• Tehát, összefoglalva, elsősorban a végtelenek és/vagy az önmagára való hivatkozások esetén látom érdemesnek hibákat keresni a matematika épületében... De természetesen még ott is van hibalehetőség, ahol egy tételt csak a számítógép segítségével tudtak bebizonyítani (ezt tehát érdemes lehet megpróbálni "kézzel" is bizonyítani), illetve a számítógépes matematikai szoftverekben még sok hibalehetőség van (bár ez már nem tartozik szigorúan a matematika épületéhez).
  

Talán később még megvizsgálom az itt említett hibalehetőségeket a matematikában, ha lesz rá időm.

(Hozzáfűzés a blogbejegyzéshez 2021-07-27: Voltak más matematikusok is, akik hasonló véleményen voltak, mint én, a végtelen okozta hibákkal kapcsolatban: az ő filozófiai irányzatuk a finitizmus. 2021-08-06. Stop.)