Leírom, miért gyanakodtam arra, hogy Gödel első nemteljességi tételének bizonyítása hibás lehet. Tehát, ennek bizonyítását Martin Hirzel fordításában néztem, amit belinkeltek a WikiPedia-ba egy archive.org-os linkkel. Ennek elején vázolják a bizonyítás tervét, és én mindjárt itt egy hiányzó láncszemmel szembesültem, ami akár hibássá is tehette volna a bizonyítást. Tehát, bevezették a "class-sign" fogalmát, ami olyan formulát jelent, aminek egy argumentuma van, egy természetes szám. Azután azt állították, hogy ezek a "class-sign"-ok sorba vannak rendezve, és az n-ediket úgy jelölhetjük, hogy Rn. Ezen kívül azt is állítják, hogy a "provable" függvényt lehetséges formulaként előállítani (ezt később bizonyítják). Ezek után veszik a következő halmazt:
K={n ∈ N | not provable(Rn(n))}
Majd azt állítják, hogy a K halmazhoz hozzárendelhető egy "class-sign", Rq aminek értéke akkor igaz, ha egy természetes szám eleme a K halmaznak... Itt jött egy olyan gondolatom, hogy ez nem feltétlenül igaz. A K halmaz ugyanis egy végtelen halmaz, és a K komplementere is végtelen. A K-hoz hasonló végtelen halmazok halmazának számossága pedig nem alef-null, hanem kontinuum. Így nem garantált, hogy egy K-hoz hasonló halmaznak egy véges formula feleltethető meg, hiszen a véges formulák halmazának számossága csak alef-null, nem kontinuum. Emiatt ástam tehát bele magam a témába. De később rájöttem, hogy ezt a K halmazt talán csak a szemléltetés végett hozták létre, a háttérben viszont az van, hogy a K helyett is formulákkal dolgozunk. Azt hiszem, az "Open Logic Text"-ben valami olyasmit írtak, hogy az n ismeretében először ki kell számítani Rn-t, majd ezt behelyettesíteni a formulába, így a végeredmény egy formula lesz, ami akkor igaz, ha a paramétere a K halmazba tartozik. Ezek után pedig folytatható a bizonyítás a belinkelt dokumentum alapján. Igen ám, de vajon n ismeretében valóban ki tudjuk számítani Rn-t? Ezen még elég sokat kellett gondolkodnom... végül is arra jutottam, hogy ha n olyan szám, ami egy "class-sign" Gödel-száma (a Gödel-számokról is olvashatunk a belinkelt bizonyításban), akkor vegyük ezt a "class-sign"-t, ha pedig n nem ilyen szám, akkor jelentse Rn azt, hogy "hamis" (vagy akár azt, hogy "igaz"). Úgy gondolom, hogy ez a művelet egy formulával kifejezhető, és azután ez a formula behelyettesíthető a "not provable" paraméterébe. Tehát, most úgy tűnik nekem, hogy Gödel első nemteljességi tétele valószínűleg igaz, hiszen nagyon sok matematikus foglalkozott már vele. De nincs kedvem ezt még tüzetesebben leellenőrizni, inkább a matematika más területeivel szeretnék foglalkozni, amikhez nem kell ennyi újfajta jelölést fejben tartani.
Nincsenek megjegyzések:
Megjegyzés küldése