2021. augusztus 6., péntek

Matematikai finitizmus és az önmagára való hivatkozás kizárása

A korábbi blogbejegyzésemmel kapcsolatban azon gondolkodtam, hogy megpróbáljak-e könyvet írni a matematikában (talán) előforduló tévedésekről... főleg két témában tudnám megtámadni a matematika 20. századi kultúráját: az egyik az önmagára való hivatkozás, a másik pedig a végtelen nagyságú matematikai objektumok, különösen a végtelen nagyságú képletek és a végtelen gráfok (a végtelen halmazokhoz már annyira hozzászoktam, hogy furcsább lenne elvetni azokat, mint használni). A következőre jutottam:

1. Az önmagára való hivatkozás valóban hibát jelent a matematikában. Ha megnézzük pl. a fraktálokat, beláthatjuk, hogy ezek leírhatók önmagára való hivatkozás nélkül is. A korábbi blogbejegyzésben említett "Diagonal lemma" vagy "Fixed Point Theorem" sem jelent igazából önmagára való hivatkozást, hiszen itt egy szám jelenthet képletet és paramétert is, és a képlet hivatkozik a paraméterre, nem a szám a számra, tehát szemantikus értelemben nincs szó önmagára való hivatkozásról, maximum a szintaktika tűnik úgy (ha jól emlékszem a korábbi gondolataimra). De nem is ezek a példák miatt vetném el az önmagára való hivatkozást, hanem azért, mert valóban "nincs értelmezve" a fejemben. Egy állítás olyan, mint valaminek a definíciója: ha létezik a definiált objektum, az olyan, mintha az állítás igaz lenne, ha nem létezik, az olyan, mintha az állítás hamis lenne. Azt pedig már ismerjük a matematikából, hogy a definíciók, lemmák és tételek (szerk.: és axiómák) szépen fel vannak építve egymásra, és nincs közöttük önmagára való hivatkozás, sem pedig később definiált dologra való hivatkozás. Ilyennek kell tekintenünk az állítások felépítését is. Sem a definíció, sem más állítás nem hivatkozhat önmagára, mert akkor nem lenne értelmezve. Ahogyan nem fogadjuk el a nullával való osztást (mert "nincs értelmezve"), nem szabad elfogadnunk az önmagára való hivatkozást sem. Még akkor sem, ha egyébként nem merül fel a használata során semmi szembetűnő hiba. Nézzünk erre egy-egy példát!

y=(3x)/(7x)

Az y változóban leírt törtet egyszerűsíthetnénk, így y=3/7 jönne ki eredményül (egyébként elképzelhető, hogy némelyik matematikai szoftver azonnal egyszerűsítene is). De mi van akkor, ha x=0? Ekkor valójában y=0/0, ez pedig nincs értelmezve! Úgy gondolom, ezzel a példával teljesen analóg a következő (szerintem közismert) példa: Egy papírra 5 állítás van írva, ezek a következők:

  1. Ezen öt állítás közül pontosan egy hamis.
  2. Ezen öt állítás közül pontosan kettő hamis.
  3. Ezen öt állítás közül pontosan három hamis.
  4. Ezen öt állítás közül pontosan négy hamis.
  5. Ezen öt állítás közül pontosan öt hamis.

Az a kérdés, hogy melyik igaz, melyik hamis. Úgy emlékszem, a "hivatalos" megoldás szerint a negyedik állítás igaz (arról, hogy négy hamis), a többi pedig hamis. De ha jobban belegondolunk, itt is önmagára való hivatkozásról van szó! Mindegyik állítás hivatkozik önmagára és a többi négyre is. Tehát, valójában az kellene, hogy legyen a megoldás, hogy ezen öt állítás nincs értelmezve, tehát egyik sem igaz, és nem is hamis. Az önmagára való hivatkozásokon kívül persze ki kell zárnunk az egymásra való hivatkozást is, mint a következő példában:

  1. A második állítás hamis.
  2. Az első állítás hamis.

Ennek két "megoldása" lenne, vagy az első állítás igaz (és a második hamis), vagy pedig a második állítás igaz (és az első hamis). (Ha viszont a második állítás az lenne, hogy "Az első állítás igaz", akkor nem lenne "megoldás".) De mivel ezek egymásra hivatkoznak, nincsenek értelmezve! (Vagy talán egy külső, harmadik állítás döntené el, hogy valójában melyik állítás az igaz? Szerintem ennek nincs értelme.) Egyszerűen ki kellene mondani, hogy az állításokat úgy építhetjük fel, mint ahogyan a definíciók, lemmák és tételek (szerk.: és axiómák) egymásra épülnek a matematikában. Önmagára való hivatkozás és egymásra való hivatkozás kizárva. Nem tudom, hogy más matematikusok mennyire vannak hasonló véleményen, mint én, de afelé hajlok, hogy ha írnék is egy könyvet a témában, az nem sokkal lenne sikeresebb, mint ez a blogbejegyzés... ennyit tudtam írni a témáról dióhéjban. Még annyit, hogy úgy tűnik, hogy sok matematikai paradoxont fel lehetne oldani az önmagára való hivatkozás kizárásával. Pl. Russel paradoxona azt mondja, hogy:

  1. Legyen S azon halmazok halmaza, amelyek nem elemei önmaguknak.
  2. Ekkor, ha S nem eleme önmagának, akkor S a definíció szerint eleme önmagának.
  3. Ha S eleme önmagának, akkor S a definíció szerint nem eleme önmagának.

Ezt a paradoxont úgy lehetne feloldani a fentebb leírtak alapján, hogy az "x nem eleme önmagának" önmagára való hivatkozást jelent, még akkor is, ha automatikusan igaznak látszik. Tehát, mint olyan, nincs értelmezve.

2. A végtelen nagyságú matematikai objektumok nem feltétlenül jelentenek hibát a matematikában. A korábbi blogbejegyzésemben azt gondoltam, hogy ha nincs olyan szám, hogy "végtelen" (tehát a végtelen csak határértéket vagy divergenciát jelenthet, de nem számot), ez azt jelenti, hogy nincs olyan képlet sem, amely végtelen nagyságú, mivel a képletek tagjainak száma (valamint a képletek kiértékelése is) egy szám kell, hogy legyen (legalábbis, ha nincs benne 0-val való osztás vagy hasonló). Azonban amikor a könyvíráson gondolkodtam erről a témáról, elbizonytalanodtam a kérdésben. Meglehet ugyanis, hogy "bevezetjük" a végtelen nagyságú képletek fogalmát (amelyeknek akár végtelen tagja is lehet), ettől kezdve tehát létezhetnek végtelen nagyságú képletek... ahhoz hasonlóan, ahogyan korábban bevezettük a negatív számokat vagy a komplex számokat. A végtelen nagyságú képletek kiértékelése esetén (pl. határérték-számítással) elképzelhető, hogy az eredmény nem egy szám lesz, hanem a végtelen... tehát a végtelen nagyságú képletek bevezetésével egyidejűleg még be kellene vezetni a végtelent jelentő számértékeket is, pl. a hyperreal nevű konstrukciókat... de ha pl. "omega" jelenti a végtelent, jó kérdés, hogy hogyan különböztetjük meg "omega"-t és "omega"+1-et? Melyiket írhatjuk le a végtelen sok tagú képlet kiértékelésének eredményeképpen? Ezen még lehet gondolkodni, de valószínűleg az "omega" nagyság elérése után "elhanyagolhatóak" a véges számok (omega=omega+1), ellentétben a WikiPedia-ban látott képpel.

A fentiek után a végtelen nagyságú matematikai objektumokban jelenleg nem látok nyilvánvaló hibát... másrészt a halmazelméletben nagyon gyakran dolgozunk végtelen nagyságú halmazokkal, és ezek eléggé intuitívak ahhoz, hogy inkább ezeket preferáljuk egy olyan matematikai kultúra helyett, amiben nem lennének elfogadottak a végtelen nagyságú matematikai objektumok. Ezt az alternatív matematikai kultúrát egyébként finitizmusnak hívják. Jó kérdés viszont, hogy lehetnek-e olyan matematikai paradoxonok, amelyeket a finitizmussal (és csak a finitizmussal) fel lehetne oldani (pl. találhatunk-e hibát a hyperreal vagy az ahhoz hasonló konstrukciókban). Vajon ilyen lehet például Hilbert Grand Hotel-paradoxonja? Eszerint egy végtelen sok szobát tartalmazó hotelben minden szoba foglalt. Mégis lehetne új vendégeket elszállásolni, ha minden vendéget a dupla akkora számú szobába költöztetnek. Azonban ezt meg lehet magyarázni azzal is, hogy az aleph-null számosságnak (ami a "végtelen sok" szoba számát jelentheti) ilyenek a tulajdonságai, hogy átköltöztetés esetén bijektív leképezés képzelhető el a halmaz és annak egy részhalmaza között. Ehhez tehát nem kell bevezetni a finitizmust.

(Blogbejegyzés szerkesztve 2021-08-08: Azonban jó kérdés, hogy mi lehet két "hyperreal" szám különbsége... pl. mennyi lehet "omega"-"omega"? Hogyan oldjuk meg a "hyperreal" számokat is tartalmazó egyenleteket? Ezen talán mégis elbukhatnak a végtelen nagyságú képletek is. Pl. vegyük a következő képletet:

((1+1)+(1+1/2)+(1+1/4)+(1+1/8)+(1+1/16)+...) - (1+1+1+1+1+...)

Egy módon kiértékelve ezt, azt kapjuk, hogy:

1+1/2+1/4+1/8+1/16+...=2

Más módon kiértékelve pedig azt kapjuk, hogy "omega"-"omega". Akkor vajon itt "omega"-"omega"=2? Nehezen hihető, különösen ha elhagyjuk a sorozatok első néhány tagját, vagy ha az (1+1+1+...) helyett ((1+1)+(1+1)+(1+1)+...)-t írunk. Az utóbbi esetben, "omega"-"omega"="-omega", tehát 2="-omega", ami ellentmondás. Ezen a kérdésen, és a matematikai finitizmuson tehát még lehet gondolkodni.

Eszembe jutott az is, hogy a végtelen nagyságú képletek kiértékelése talán divergenciához vezet, pl. a következő képlet esetén:

(-1)^1+(-1)^2+(-1)^3+(-1)^4+(-1)^5+...=(-1)+1-1+1-1+...

Ennek az eredménye tehát lehetne akár 0, akár (-1). Mivel a végtelen nagyságú képletek bevezetése ilyen divergenciát is szülhet, azokkal nem lehetne úgy számolni, mint a normális képletekkel. Ennél tehát egyszerűbb a matematikai finitizmus. Tehát, lehetőleg használjuk mindig a "lim" jelölést, amikor végtelen nagyságú képletekről lenne szó!)



Nincsenek megjegyzések:

Megjegyzés küldése